難問奇問数学自作問題45-通常の3倍大きいシャア専用角度-

大学入試 自作問題 難問 奇問 三角関数 多項式 背理法

「 { \displaystyle x,y} は、 { \displaystyle x=2y^2-1}および  { \displaystyle y=4x^3-3x}を満たすとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1)  { \displaystyle |x|\leq 1} かつ  { \displaystyle |y|\leq 1} をしめせ。

(2)  { \displaystyle x} の全ての解のうち、3番目に大きい解を求めよ。」

 

 

ポイントは、「三角関数を連想する」こと。具体的には、倍角の公式、3倍角の公式の形に式がなっていることが分かる。

 

(1)では、背理法を使うのが良かろう。少し難しいが、できるはず。

(2)では、いろいろ解法はあるが、複素数平面を利用してやるのがいいかも。(1)のおかげで  { \displaystyle x=cos\theta}と置くことが正当化される。 6次方程式なので解は全部で6個あるが、  { \displaystyle x=cos\theta}で置いたことで、すべて異なる解になることが分かる。

 

作った後で気づいたが、京都大学の後期試験に似てる問題があった。多分この記事の問題の方が難しい？？