難問奇問数学自作問題14-楕円の性質をフル活用-

大学入試 自作問題 難問 奇問 平面図形の性質 必要十分

「 { \displaystyle a \gt b \gt 0} として、 { \displaystyle xy} 平面上にE: { \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1} がある。また、 P { \displaystyle (\sqrt{a^2-b^2},0)}、Q { \displaystyle (-\sqrt{a^2-b^2},0)} とする。E上に動点S、Tがあるとして、以下の問いに答えよ。

(1) Sのとりかたに依らず、PS+QSが一定であることを示せ。

(2) 線分ST上にQがある正三角形PSTが存在する必要十分条件を、 { \displaystyle a,b} を用いて表せ。」

 

考え方のポイントは、
① 楕円において、焦点と周上の点を結ぶ線分の和が一定であることを利用

② 二等辺三角形の中線の性質を利用

の2点。

 

解答は省略する。