難問奇問数学自作問題13-coshと3次方程式と私と-

大学入試 自作問題 難問 奇問 方程式と図形 多項式

「正数 { \displaystyle x} は { \displaystyle \frac{cosh 2x}{cosh 3x}=r} を満たす。ただし { \displaystyle r} は1未満の整数とする。このとき以下の問いに答えよ。

(1) { \displaystyle r=\frac{7}{26}} のとき、 { \displaystyle x} を求めよ。

(2) { \displaystyle y} についての3次方程式 { \displaystyle 4ry^3-2y^2-3ry+1=0} の解を  { \displaystyle \alpha \gt \beta \gt \gamma} とする。 { \displaystyle x} を  { \displaystyle \alpha,\beta,\gamma} を用いて表せ。ただし、必要なものだけ用いて良い。」

 

考え方のポイントは、
① coshの関係式をうまく3次方程式で表せるか

② 3次方程式のグラフの概形を利用できるか

の2点。

 

以下、解答のヒントを説明する。

 

　(1)は条件式を3次方程式で表し、因数定理で一発。

　(2)は少し難しいが、グラフの概形を利用すると良い。すると、 { \displaystyle cosh x} が、与えられた3次方程式の最も大きな解になっていることがわかる。