このサイトでは、著者の自作した数学の問題(大学入試レベル)を紹介します。記事内容はヒントや略解の説明にとどめています。

「高さ1で厚みのない脚立が両足が原点，頭がに来るように軸に立てかけられている。脚立の左足を原点に置いたまま，右足をに軸に沿ってに来るまで動かす。この時，脚立が通る領域は，軸，軸とある曲線軸に囲まれた領域となる。曲線を求めよ。」 では円周の一…

「前問の関数に対し、が成り立つことを示せ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com 一個目の不等式は，前問の(2)から明らか。二個目の不等式はおよびが登場する式なので、前問の仮定の式において、と置いたものから出発すればよいことが分かる。…

「を実数とする。関数が、任意の実数と任意の複素数に対し、を満たすとする。このとき、以下を示せ。ただし、「」は複素共役を表す。 (1) (2) 」 仮定の式を満たす関数を定符号関数と呼ぶ。として、具体的な値を代入することで上記の関係式を導出しよう。(2)…

「の全ての解が、絶対値が1を超えるような実数の範囲を図示せよ。」 虚数解の場合も忘れずに議論せよ。答えは、かなり綺麗な図形になる。ちなみに、これは大学で統計や経済で習う”時系列解析”に出てくる、2次の自己回帰モデルの特性方程式に相当する。このモ…

「空間に高さ1、半径1の円柱があり、下底円の中心を(0,0,0)、上底円の中心を(0,0,1)とする。今の放物線の形をしたカッターが、軸に沿ってからに動く。このとき、カッターで切り取られる円柱の立体のうち原点を含む方の体積を求めよ。」 難しくないので解説は…

「下図のような、各区画の長さが等しい碁盤目状の道路がある。を自然数とするとき、地点Aからスタートして地点でゴールするような最短経路は何通りあるか。を用いて表せ。 」 碁盤目上の最短経路の問題と、漸化式を融合させた問題。 地点Aからスタートして地…

「上に点A(-1,1)、B(1,1)をとる。線分AB上にある点Pを通る直線で、とその直線が囲む面積が最小になるようなものを直線とする。点Pが線分AB上を動くとき、直線の通過する領域を図示せよ。」

「半径の異なる3つの円が平面上にある。どの二つに関しても、一方が他方に内接しておらず、一方が他方の内部にあることもないとする。このとき、の共通外接線の交点Aと、の共通外接線の交点Bと、の共通外接線の交点Cは同一直線上にあることを示せ。」 一見ギ…

「平行四辺形ABCDがあり、頂点A、B、Cを通る円Pがある。線分BEがこの円の直径となるように、円周上に点Eをとる。このとき、となることを示せ。」 難しくないのでノーヒント。

「空間に高さ、底円の半径の直円柱と斜円柱がある。ここでの上底円、下底円は(0,0,1)、(0,0,0)を中心として平面に平行であり、の上底円、下底円は(2,0,1)、(0,0,0)を中心として平面に平行であるとする。このとき、との共通部分の体積を求めよ。」 軸に対して…

「AさんとBさんが、引き分けがなく勝敗が必ず決まるゲームを行う。Aさんが勝つ確率は、負ける確率はであるとする。初めてAさんが2連勝した時、このゲームを終えるとする。ちょうど回目でゲームが終了する確率を求めよ。」 のままでは確率漸化式が立てにくい…

「問題44に関して、を求めよ。」 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com の満たす漸化式を利用する。するとが示せるので、これからに関する漸化式を求めれば良い。 具体的に漸化式はとなる。

「に上向きの矢印があるとする。これをアップスピンと呼ぶことにする。以下、下向きの矢印をダウンスピンと呼ぶ。に、原点から近い順にアップスピンかダウンスピンのいずれかを配置していく。その際、左隣と同じ向きのスピンを、逆向きのスピンをの確率で配…

「ある生物は、0才になった個体は1年後に子供を1匹産み、1才になった個体は1年後に2匹産む。2才になった個体は子供を産むことなく翌年までに死滅するとする。今、ちょうど0才になった個体が1匹いてそれ以外の年齢の個体がいないとき、年後にこの個体は何匹い…

「以下の問いに答えよ。 (1) 2つのについての方程式 と、が同値となるとき、をを用いて表せ。 (2) についての方程式 を解け。」 特殊な4次方程式の解放に関する問題。(1)は(2)の誘導で、因数定理を用いれば の値が決定する。すると、を解けば良い。

「人の中から、1人以上人を選ぶ場合を考える。このとき、選んだ人数が奇数となる場合の数と、偶数となる場合の数の大小を比較せよ。」 二項定理 および を利用すると良い。結果として、必ず奇数人選ぶ場合の数が多くなる。

「１辺の長さが3の正三角形ABCがあり、辺AB、BC、CAを三等分する点を左回りでD、E、F、G、H、Iのようにとる。また、正三角形ABCの重心をOとする。こうしてできた点A、B、C、D、E、F、G、H、I、Jを移動する虫がいる。この虫は、点Oからスタートし、1秒ごとに…

「１辺の長さが1の正十二面体について、以下の問いに答えよ。 (ヒント：適当な8頂点からなる立方体が存在することを利用する) (1) 外接円の半径の長さを求めよ。 (2) 体積を求めよ。」

「正十二面体の各頂点を移動する怪人がいる。怪人は、頂点の一つPからスタートし、1秒ごとに隣り合う頂点に等しい確率で移動する。頂点Pからもっとも離れた頂点をQとし、スタートから秒後に頂点Pに怪盗がいる確率を、頂点Qに怪人がいる確率をとする。をで表…

「とする。の異なる交点の数を、の値で場合分けして求めよ。」 まともにやると４次関数が出てくるので工夫しよう。両辺の足し算と引き算を計算して式を整理してみよう。 場合分けした後、途中でが得られるが、解と係数の関係を使って考えると容易。

「以下の問いに答えよ。 (1) 無限小数となる有理数は循環小数になることを示せ。ただし、循環小数とは、ある桁から先で同じ数字の列が無限に繰り返される小数のことである。 (2) 自然数を小さい順に 個並べてできた小数を考える。例えば、となる。 (a) をを…

「ネイピア数(自然対数の底)がとなることを示せ。」 示す方法は山のようにある。ノーヒント。

「三角形ABCにおいて、とおく。 このとき、 を定義する。 が成り立つことを示せ。ただし、前問(3)の結果は用いてはならない。」 下限は、前問の(3)でとした時の式、すなわちネスビットの不等式に一致する。今回は、それとは別の方法で示そう。 の両辺にを掛…

「以下の問いに答えよ。 (1) 実数の組 に対し、 が成り立つことを示せ。 (2) 実数の組 に対し、 が成り立つことを示せ。ただし、 とする。 (3) 正の実数 に対し、 とする。このとき、 が成り立つことを示せ。」 意欲のある人は(2)から、あるいは(3)から解い…

「以下の問いに答えよ。 (1) のとき、 が成り立つことを示せ。 (2) 0以上の整数に対し、を求めよ。ただし、とする。 (3) を示せ。」 を近似しようという問題。(2)では部分積分を用いて漸化式を立てると良い。その結果、を得る。 (3)では、として(1)と(2)を利…

「三角形ABCにおいて、外心をOとする。が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形となるか。」 基本は前問と同じ。まずは、外心の位置を特定しよう。外心は各辺の垂直二等分線の交点であるので、Oから辺ABに下ろした垂線の足をHとすると、が成り立つ。を…

「三角形ABCにおいて、垂心をHとする。が成り立つとき、三角形ABCはどのような三角形となるか。」 まずは、垂心の位置を特定しよう。ベクトルでやるより、初等的に三平方の定理やメネラウスの定理を使うと良い。以下、とおく。 条件式は、 と同値であり、を…

「以下の問いに答えよ。 (1) 実数係数からなるの多項式において、1つの解が のとき、 も解になることを示せ。ただし、 は実数で、 とする。 (2) をある実数とする。4次方程式 の解のうち2つが のとき、を求めよ。」 いわゆる実係数多項式の共役根に関する問…

「鋭角三角形ABCの辺BC、CA、AB上にそれぞれ点P、Q、Rをとる。こうしてできる三角形PQRの周の長さが最小になるとき、点P、Q、Rの位置は各辺上のどこに取れば良いか。また、周の長さの最小値を辺BC、CA、ABの長さを用いて表せ。」 あまり知られていない垂心の…