難問奇問数学自作問題43-今再びの双曲線-

大学入試 自作問題 難問 奇問 領域 積分 三角関数

「 { \displaystyle xy} 平面上に放物線 { \displaystyle y=x^2} と、円 { \displaystyle x^2+(y+\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}} がある。放物線上の動点Pを通り、円に接する2つの接線の接点をQ、Rとする。このとき、線分QRが通過する領域の面積を求めよ。  」

 

 

ポイントは、

① 2つの円の交線は、2つの円の方程式の差で求まる

②  { \displaystyle \sqrt{x^2+a^2}} の積分をしっかりと！ 

である。

 

かなり計算がしんどい難問である。線分QRの式をいかにして導出するか、複雑な積分をミスなく実行できるかなど、この問題には複数のハードルがある。

三平方の定理を使えば、PQ及びPRの長さが求まる。つまり、この長さを半径とした中心Pの円と、 { \displaystyle x^2+(y+\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}} の交点がQ、Rである。よって、ポイント①より、これらの円の方程式の差を取れば交線QRが得られる。

 

通過領域は、直線QRに対して判別式を適用すれば良い。そのうち、円の内部にあるものが通過領域となる。結果として、円と双曲線に挟まれた領域となる。まずは、交点をしっかりと求めよう。円の面積と双曲線の積分を使って、うまく面積を求めれば良い。