難問奇問数学自作問題27-周の長さが一定の直角三角形の領域-

「x,y軸上にそれぞれ点A、Bをとり、三角形OABが第一象限にあり(軸も含む)、周の長さが1の直角三角形となるようにA、Bを動かす。ただし角Oが直角であるとする。また、第一象限に四角形OACBが長方形となるような点Cをとる。四角形OACBは通過するが、三角形OABは通過することのない領域の面積を求めよ。」

考え方のポイントは、 

① 媒介変数表示で表してみる

② 図形の性質でとく

の2つである。

まず、四角形OACBの通過領域をもとめるには、点Cの軌跡を求めれば良い。そのためには媒介変数表示が楽である。

また、四角形OABの通過領域は、Aの座標を文字でおいて、直線ABの方程式をその文字で表し、実数解をもつ条件から求めることもできる。ただし、図形的考察から求めるのが一番楽だろう。外接円を考えると...