難問奇問数学自作問題28-準円の描く放物線は栄光の架橋-

大学入試 自作問題 難問 領域 数列 極限 軌跡

「 { \displaystyle y=x^2} 上に動点Pをとり、中心をPとして { \displaystyle x} 軸に接する円Cを作る。このとき、 { \displaystyle x} 軸との接点をHとする。以下の問いに答えよ。

(1) 円Cの通過する領域を求めよ。

(2) 円Cが常に接する円Dが存在し、この中心をAとする。 { \displaystyle \angle} APHを { \displaystyle \theta} とおく。特に、点Pの   { \displaystyle x} 座標が自然数  { \displaystyle n} となる時の { \displaystyle \theta} を { \displaystyle \theta_n} とする。この時、 { \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n-1}tan \theta_n} を求めよ。」

 

考え方のポイントは、 「交代符号の数列は隣り合う項ごとにまとめる」

である。

 (1)はよくある問題。通過しない領域に定円が現れるが、これが放物線の準円に相当する。すなわち、その中心は、放物線の焦点となる。

 (2)では、 { \displaystyle \theta_n} を { \displaystyle n}でうまく表す。ポイントに則って  { \displaystyle \theta_{2k-1}-\theta_{2k}} を計算し、部分分数分解表示すれば良い。 あとは省略。