難問奇問数学自作問題74-運命の円錐廻して-

大学入試 自作問題 難問 奇問 方程式と図形 空間図形 積分

「3次元 { \displaystyle xyz} 空間において、半径 { \displaystyle r}の底円を { \displaystyle xy} 平面上に持ち、頂点を { \displaystyle (0,0,h \gt 0)}とする、中身の詰まった直円錐Vがある。Vを { \displaystyle x} 軸に関して1周させてできる回転体の体積を求めよ。」

 

 ポイントは、回転体の体積を求めるには回転軸からもっとも離れた点を考えれば良いことである。Vを { \displaystyle x=t} で切断した時の図形(=双曲線)を観察してみよう。回転の中心からもっとも離れている点は、双曲線のどこに位置するだろうか。 { \displaystyle h,r} の値で場合分けしながら考えると良い。