「 半径 
の底円を持つ高さ
の円柱があり、側面に厚みのない紙が巻き付けられているとする。この円柱の底円の円周上の点Pと、上円の円周上の点Qを通る平面による切断を考える。Pの直上にある上円の円周上の点P'に対し、Qは円の中心に対して対象な位置にあるとする。また、切断面はQにおける上円の接線を含んでいるとする。この面によって切り取られた紙の形状はどんなものか。また、切断面の面積を求めよ。」
以下、考え方兼略解。
考え方のポイントは、
①「ああ、レストランのテーブルの上によくあるやつや」と感じれること
② 円周上に沿った座標系で考えよう
の2つ。
特に、①のように実体験に即して思考できることはとても重要である。レストランには他にも、「照明によって明るくなった壁の一部分」など、面白い幾何学的図形が隠れていることだろう。
では、略解を記載する。
Pから右回りに円周上を
だけ進んだ点をRとする。Rの直上にある切断面上の点をSとする。同様に、Pから左回りに だけ進んだ点をR'、その直上にある切断面上の点をS'とする。底円の中心をCとし、直線CPとRR'の交点をT、SS'とPQの交点をUとおく。
すると、
POR 
より、PT
となる。
よって、相似を用いると、SR=TU を得る。
Pが(0,0)、Cが(
,0)にくるようなxy平面上への展開を考えよう。するとRは(,0)、Sは (, 
)に移される。
従って切り取られた紙は、正弦波の形をしていることがわかる。
面積は、楕円の面積で求めることもできるし、射影を利用しても得られる。
