難問奇問数学自作問題42-立方数はともだち-

「以下の問いに答えよ。

(1) $a,b,c$ のうち少なくとも2つは異なるとする。このとき、 $a^3+b^3+c^3=3abc$ であれば、 $a+b+c=0$ が成り立つことを示せ。

(2) $n,m$ を自然数とし、 $p$ を素数とする。 $p^6-m^9-n^9=3p^2m^3n^3$ が成り立つような $m,n,p$ の組みを全て求めよ。」

ポイントは、

① $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ が使えるか

② 判別式を用いて整数の組みを制限できるか

である。

(1)は、1つめのポイントで容易にもとまるだろう。ただし、 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \gt 0$ の証明を忘れずに。

(2)は、(1)を用いることで $p^2=m^3+n^3$ を得る。右辺を因数分解し、各項が $p^2$ の約数になることを利用する。ここから解を見つけていくのだが、途中で判別式を用いて解を絞ることがカギである。