難問奇問数学自作問題41-正多角形のコアに迫る-

大学入試 自作問題 難問 極限 平面図形の性質 三角関数

「   { \displaystyle n} を自然数とし、正  { \displaystyle 2n+1} 多角形を考える。この多角形をすべての対角線によって領域分割し、多角形の中心を含む領域の面積を  { \displaystyle S_n} とおく。

(1)   { \displaystyle S_n} を  { \displaystyle n} で表せ。

(2)   { \displaystyle lim_{n\to \infty }n^2s_n}  を求めよ。」

 

 

ポイントは、「どの対角線が領域の生成に寄与するか」つきとめることである。対角線のうち、中心との距離が最も近い線は  { \displaystyle 2n+1} 本ある(直径から1頂点だけずれた対角線)。このため、求めたい領域も正  { \displaystyle 2n+1} 多角形になることが分かる。したがって、各辺と中心との距離がわかれば面積もすぐにもとまりそうだ。(1)ができれば、(2)はおまけである。