難問奇問数学自作問題40-微分の定義に還りなさい、記憶をたどり、-

大学入試 自作問題 難問 奇問 微分係数 極限

「 以下の問いに答えよ。ただし { \displaystyle n} を自然数とする。

(1)  { \displaystyle lim_{n \to \infty} n(e^{\frac{x}{n}}-1)} を { \displaystyle x} で表せ。 

(2)  { \displaystyle lim_{n \to \infty} n((xy)^{\frac{1}{n}}-x^{\frac{1}{n}}-y^{\frac{1}{n}}+1)} を求めよ。ただし、 { \displaystyle x,y \gt 0} とする。」

 

 

ポイントは、「微分の定義(微分係数)を使えるか」に尽きる。

(1)では、 { \displaystyle t=\frac{1}{n}} と変換した上で式を整理すると、ある関数の微分係数になることがわかる。この時、何についての「微分」なのか、ちゃんと理解しておく必要がある。

(2)は(1)と、logの性質を利用すれば難しくはない。