難問奇問数学自作問題117-解と係数の関係と面積-

大学入試 自作問題 難問 解と係数の関係 方程式

「 { \displaystyle y=x^3-x}と { \displaystyle y=k}が、異なる3点で交わっている。交点の { \displaystyle x}座標を小さい順に { \displaystyle \alpha,\ \beta,\ \gamma}とする。以下の問いに答えよ。

(1) { \displaystyle k}の範囲を求めよ。

(2)  { \displaystyle \alpha+\beta+\gamma,\ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2,\ \alpha^4+\beta^4+\gamma^4}の値を { \displaystyle k}を用いずに求めよ。

(3)  { \displaystyle y=x^3-x}と { \displaystyle y=k}によって囲まれる面積を、 { \displaystyle \beta}を用いて表せ。」

 

意欲のある人はいきなり(3)に取り組んでほしい。(2)は(3)の大ヒントで、これがあると平凡な問題になる。答えだけ書いておくと、面積は { \displaystyle -\frac{9}{4}¥beta^4+\frac{3}{2}\beta^2+\frac{1}{2}}となる。