難問奇問数学自作問題64-平均、分散、歪度-

大学入試 自作問題 奇問 難問 方程式

「自然数 { \displaystyle n_1,n_2} は { \displaystyle n=n_1+n_2} を満たす。このとき、実数の組み { \displaystyle x_1,x_2,...,x_n} があって、以下の各量で定義する。 { \displaystyle a_1=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}x_i}、 { \displaystyle a_2=\frac{1}{n_2}\sum_{i=n_1+1}^{n}x_i}、 { \displaystyle b_1=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}(x_i-a_1)^2}、 { \displaystyle a_2=\frac{1}{n_2}\sum_{i=n_1+1}^{n}(x_i-a_2)^2}、 { \displaystyle c_1=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}(x_i-a_1)^3}、 { \displaystyle c_2=\frac{1}{n_2}\sum_{i=n_1+1}^{n}(x_i-a_2)^3} とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) { \displaystyle a=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i} を  { \displaystyle a_1,a_2} を用いて表せ。

(2) { \displaystyle b=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^2} を  { \displaystyle a_1,a_2,b_1,b_2} を用いて表せ。

(3) { \displaystyle c=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-a)^3} を  { \displaystyle a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2} を用いて表せ。」

 

ポイントはとくになし。   { \displaystyle a,b,c} をそれぞれ統計学で「平均、分散、歪度」と呼ばれる。分散はデータの値のばらつきを表している。例えば  { \displaystyle b=0} は、 { \displaystyle x_1=x_2,...,=x_n} の時に限られる。値がばらつくほど、分散は大きくなる。一方、歪度は { \displaystyle x} の従う発生分布が   { \displaystyle x=0} に対して非対称になる度合いを表す。4乗の場合は、尖度と呼ばれる。