難問奇問数学自作問題56-指数分布の平均でeを叫ぶ-

大学入試 自作問題 奇問 難問 積分 漸化式

「 { \displaystyle f(x)=\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}} とするとき、 { \displaystyle lim_{n\to \infty} \frac{\int_{0}^{\infty}(x-\lambda)^n f(x)dx}{\int_{0}^{\infty}x^n f(x)dx}} を求めよ。ただし、 { \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}=1/e} は既知として良い。」

 

ポイントは特になし。

統計数理では、 { \displaystyle f(x)}を指数分布と呼ぶ。正規分布などと同じ確率分布関数の一種である。平均(=期待値)は  { \displaystyle \lambda} であり、 その周りのベキ乗の積分である { \displaystyle \int_{0}^{\infty}(x-\lambda)^n f(x)dx} を、 { \displaystyle n} 次のモーメントと呼ぶ。特に二次のモーメントを分散と呼び、分布のばらつきを表す。