難問奇問数学自作問題84-対称式であそぼ-

大学入試 自作問題 難問 微分 数と式

「実数 { \displaystyle x,y}が { \displaystyle x^3+y^3=6} を満たしながら動くとき、 { \displaystyle 3x^2y+3xy^2-6x^2-12xy-6y^2+11x+11y}の取りうる値の範囲を求めよ。」

 

 

　対称式 { \displaystyle u=x+y,v=xy}を用いて式を整理することに尽きる。条件式 { \displaystyle x^3+y^3=6} を用いることで、 { \displaystyle 3x^2y+3xy^2-6x^2-12xy-6y^2+11x+11y}を { \displaystyle u} のみで表すことができる。

　注意点は、 { \displaystyle u}の値は自由に取れないということ。 { \displaystyle x,y}が実数になるためには、 { \displaystyle u,v} に何らかの制約が生じるからである。これを踏まえて値域を評価する。