難問奇問数学自作問題5-色々な距離(マンハッタン距離)-
「平面上の2点 に対して、 及び を定義する。
いま、点A(1,0)と、 の円周上の動点Pがある。この時、以下の最大値を求めよ。
(1)
(2) 」
以下、考え方兼ヒント。
考え方のポイントは、
① 三角関数を使うのが良さそう
② (2)は通常の距離 とマンハッタン距離 のハイブリッド。なので、最大値は、(1)のそれと の最大値の間にあるのかな?
と考えれること。高校までに習ってきた距離は (ユークリッド距離)であったが、世の中には色々な種類の距離があり、マンハッタン距離もその一つ。マンハッタンは日本の平安京のように碁盤目状の都市であり、移動距離が で記述されることが由来である。
解法については、Pの座標を三角関数で導入し、あとは微分で増減表を書くだけ。(2)のヒントとしては、微分した結果を、さらに積和公式を用いて簡単にすると良い。解は省略する。
上記のマンハッタン距離は、統計や機械学習でよく使われるもの。通常のユークリッド距離では、小さい入力はより小さく、大きい入力はより大きくなる傾向がある。このため、データにノイズ由来の外れ値がある場合、その値の影響が過大評価され、見たい真の関係が見えにくくなることがある。マンハッタン距離では、こういった外れ値の影響が低減される利点がある。ただし絶対値を含むため、微分などの解析が難しくなる欠点がある。