難問奇問数学自作問題80-スカラー三重積は 強し 強し 強し!!!-

大学入試 自作問題 難問 奇問 ベクトル 必要十分

「３次元空間のベクトル { \displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{c}}がある。このとき、 { \displaystyle \vec{a},\vec{b},\vec{c}}が一次独立であることの必要十分条件は、 { \displaystyle \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\neq 0}であることを示せ。ここで、外積は { \displaystyle \vec{b}\times\vec{c}=(b_2c_3-b_3c_2,b_3c_1-b_1c_3,b_1c_2-b_2c_1)} で定義する。」

 

 

 

前々問で述べたように、 { \displaystyle \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})} をスカラー三重積と呼ぶ。

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の結果から、スカラー三重積の絶対値は、3つのベクトルで構成される”平行六面体”の体積に等しくなる。従って、三重積が0になるのは平行六面体の体積が0になるときなので、全ベクトルが同一平面上に来るときに限られる。