難問奇問数学自作問題35-約分は英語でreduction-

大学入試 自作問題 奇問 整数

「   { \displaystyle 6n^{\alpha}-nm^3+m^3=0} を満たす自然数の組  { \displaystyle m,n} を、自然数 { \displaystyle \alpha} の値によって分類せよ。」

 

 

ポイントとしては「約分して整数になることを利用する」である。

 

略解を示す。

与えられた式は以下のように変形できる。

  { \displaystyle m^3=\frac{6n^{\alpha}}{n-1}}

ここで、等比数列の和の公式を使うと、

  { \displaystyle \frac{n^{\alpha}-1}{n-1}=\sum_{k=0}^{\alpha}n^k }

と表せる。つまりこれは自然数となる。

従って、

  { \displaystyle m^3=}(自然数) { \displaystyle +\frac{6}{n-1}}

となるため、第二項が整数にならなければならない。つまり、これを約分して整数になるためには、 { \displaystyle n-1} が { \displaystyle 6} の約数になっていなければならない。 ここまで分かればあとは難しくない。