難問奇問数学自作問題68-循環小数と漸化式-

大学入試 自作問題 奇問 組み合わせ 場合の数 漸化式

「 1つのサイコロを { \displaystyle n} 回振り、出た順に数字を小数点以下に並べて実数を作る。例えば、1回目に4、2回目に3が出た場合、0.43となる。こうしてできる小数が、 { \displaystyle \frac{41}{333}} 以下となる確率を { \displaystyle p_n} と表す。 { \displaystyle p_n}を { \displaystyle n} を用いて表し、 { \displaystyle lim_{n\to \infty }p_n} を求めよ。」

 

考え方のポイントとしては、 { \displaystyle \frac{41}{333}} が循環小数になるので、その周期性を反映した何らかの漸化式が得られるはずだ、と考えれること。

 

小数だとややこしいので、一旦整数で考えてみる。すなわち、出た順に数字を先頭から並べて整数を作ることを考える。そして、作られた整数が、n桁の整数123123123...より小さくなるような場合の数 { \displaystyle Z_n} を考える。

 

まず、 { \displaystyle n=3m} の場合に、 { \displaystyle Z_{3(m+1)}} と { \displaystyle Z_{3m}} の漸化式を求めてみよう。それをといて得られた { \displaystyle Z_{3m}} を { \displaystyle 6^{3m}} で割れば、 { \displaystyle p_{3m}} が得られる。

先頭から { \displaystyle 3(m-1)}桁までの数が { \displaystyle 123123...123} のとき、次の3桁は123以下の9通り。 { \displaystyle 123123...123} で無い場合は、次の3桁はなんでも良いので { \displaystyle 6^3} 通りとなる。よって、漸化式として { \displaystyle Z_{3m}=(Z_{3(m-1)-1})\times6^3+1\times9} を得る。