難問奇問数学自作問題72-透過と反射-

大学入試 自作問題 難問 奇問 数列 極限

「 { \displaystyle x}軸上の { \displaystyle x=0,d(\gt 0) } に厚みのない障壁がある。 { \displaystyle x=0} の障壁に、大きさのない { \displaystyle N}個の粒子が { \displaystyle x}軸の負の方向から正の方向に向かって同時に入射する。粒子同士はぶつかり合ったりせず、入射する前の速さは { \displaystyle v}で等しいとする。各粒子は障壁に対して { \displaystyle r} の確率で反射し、 { \displaystyle 1-r} の確率で透過する( { \displaystyle 0\lt r \lt 1})。またこれらの前後で粒子の速さは変わらないと仮定する。以下、 { \displaystyle N}個の粒子が { \displaystyle x=0}の障壁に衝突した時刻を { \displaystyle t=0} とする。

(1) 時刻 { \displaystyle t}において、2つの障壁内に存在する粒子の個数と、その位置を求めよ。必要ならばガウスの記号 { \displaystyle [s]=}( { \displaystyle s}を超えない整数) を用いて良い。  

(2) 十分長い時間が経過したのち、 { \displaystyle x=0} の障壁よりも左に存在する粒子の個数と、 { \displaystyle x=d} の障壁よりも右に存在する粒子の個数が、等しかったという。このとき、反射の確率 { \displaystyle r}を求めよ。」

 

 

透過と反射に関する問題。こういった古典的なモデルで、オーム抵抗系における電子の動きを説明したりすることもできる。

(1)は、 { \displaystyle t=0} より後の衝突回数 { \displaystyle n}で時刻を場合分けすると良い。粒子の位置の解は、 { \displaystyle \frac{nd}{v}\lt t \lt \frac{(n+1)d}{v}} において { \displaystyle x=|vt-2[(n+1)/2]d|} となる。