難問奇問数学自作問題32-フェルマーの最終定理の子分の子分を倒す-

大学入試 自作問題 難問 整数

「 自然数 { \displaystyle n,m} 、素数 { \displaystyle p} とおくとき、 { \displaystyle n^3+m^3=p^3} となる { \displaystyle n,m} は存在しないことを示せ。また、 { \displaystyle n^3+m^3=(2p)^3} を満たす { \displaystyle n,m} が存在しないことも示せ。」

 

ポイントは

① 常に因数分解可能か否か考える

② 困ったら、二次関数の知識を使う

である。

 

{ \displaystyle n^3+m^3=(n+m)(n^2-nm+m^2)} と因数分解できるため、一項目、二項目は { \displaystyle p,p^2} あるいはその逆に絞られる。 { \displaystyle (p,p^2)} の場合は簡単に解が無いことを示せるが、その逆が厄介。ただし  { \displaystyle n^2-nm+m^2-(n+m)} は平方完成を用いれば、これが0以下になる場合の { \displaystyle n,m} がかなり限定されることになる。

後半の問題はさらに難しい。前半の結果を使ったりして解を制限していこう。