難問奇問数学自作問題3-関数の性質を骨までしゃぶる-
「 として を満たす関数 がある。この関数は、 で , で とする。この時、以下の問いに答えよ。
(1) , を示せ。
(2) 自然数 に対して を満たすような整数を とする。この時、
が成り立つことを示せ。
(3) 自然数 に対し、 が最大となる を求めよ。 」
以下、考え方兼略解。
考え方のポイントは、
①対数っぽい性質?
②(2)の式は不等式なので、「 で 」あたりの不等式の情報を使うのかな?
と邪推できること。
では、略解を記載する。
(1)は とすれば一発 。
(2)は少し複雑だが、2のベキ乗が出ていることがヒント。整数 に対して、
であるから、漸化式をといて を で表す。 は、中身と1との大小関係で正負になることが、問題文に記載されている。あとは少しだけ式変形することで、題意の式を得る。
(3) に対して(2)の式を用いれば、 を得る。... も 未満であることが示せるので、最大が となることが証明できる。