難問奇問数学自作問題3-関数の性質を骨までしゃぶる-

 { \displaystyle 0\lt x,y} として  { \displaystyle f(xy)=\frac{f(x)}{y}+\frac{f(y)}{x}} を満たす関数  { \displaystyle f} がある。この関数は、 { \displaystyle x\gt 1} { \displaystyle f(x)\gt 0} { \displaystyle 0\lt x \lt 1} { \displaystyle f(x)\lt 0} とする。この時、以下の問いに答えよ。

(1)  { \displaystyle f(1)=0},  { \displaystyle f(2)=f(4)} を示せ。

(2) 自然数  { \displaystyle n} に対して  { \displaystyle 2^{m}\leq n \lt 2^{m+1}} を満たすような整数を  { \displaystyle m} とする。この時、

    { \displaystyle \frac{2m}{n}f(2)\leq f(n) \lt \frac{2(m+1)}{n}f(2)}   

が成り立つことを示せ。

(3) 自然数  { \displaystyle n} に対し、  { \displaystyle f(n)} が最大となる  { \displaystyle n} を求めよ。 」


以下、考え方兼略解。

考え方のポイントは、
①対数っぽい性質?
②(2)の式は不等式なので、「 { \displaystyle x\gt 1} { \displaystyle f(x)\gt 0}」あたりの不等式の情報を使うのかな?
と邪推できること。

 

では、略解を記載する。

 (1)は  { \displaystyle (x,y)=(1,1),(2,2)}とすれば一発 。

 (2)は少し複雑だが、2のベキ乗が出ていることがヒント。整数  { \displaystyle \alpha} に対して、

 { \displaystyle f(\frac{n}{2^{\alpha}})=f(\frac{n}{2^{\alpha+1}}\times 2)=\frac{1}{2}f(\frac{n}{2^{\alpha+1}})+\frac{2^{\alpha+1}}{n}f(2)}

であるから、漸化式をといて  { \displaystyle f(\frac{n}{2^{\alpha}})} { \displaystyle f(2)} で表す。 { \displaystyle f(\frac{n}{2^{\alpha}})} は、中身と1との大小関係で正負になることが、問題文に記載されている。あとは少しだけ式変形することで、題意の式を得る。

 (3)  { \displaystyle n=9,25} に対して(2)の式を用いれば、 { \displaystyle f(2)\lt f(3)\gt f(5)} を得る。 { \displaystyle f(6)}... も  { \displaystyle f(2)} 未満であることが示せるので、最大が  { \displaystyle f(3)} となることが証明できる。