難問奇問数学自作問題17-円錐の表面積に関する難問-

「半径1の球に内接する円錐を考え、円錐の表面積が最大になる時の高さを求めよ」

考え方のポイントは、
① どこを とおくか

② 因数定理で解を見つける

 の2点。

最初の方針は難しくないが、増減表を描くのに一工夫必要。結果からいうと、円錐の高さを とおくと良い。そのあとは を用いて表面積=底円+側面の扇形を表せば良い。これを微分して極値を探すのだが、その方程式は(適宜変数変換すると)4次方程式になり、かなり厄介である。

　そこで②のポイント。すなわち因数定理で解を探す他ない。色々試行錯誤すればきっと見つかるはず。