難問奇問数学自作問題19-近似られた円周率 -

「以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を自然数とする。 $I_n=\int_{0}^{\pi/2}con^n \theta d\theta$ を求めよ。

(2) 任意の自然数に対し、

$\frac{16^n(n!)^4}{(n+\frac{1}{2})((2n)!)^2} \lt \pi \lt \frac{16^n(n!)^4}{n((2n)!)^2}$ が成り立つことを示せ。」

考え方のポイントは、

$I_n$ が単調減少であることを利用すること。

(1)はよくある有名問題。(2)では、上記のポイントから証明できる。この結果により、 $lim_{n\to \infty}\frac{16^n(n!)^4}{n((2n)!)^2}=\pi$ がわかり、円周率に対する収束列を得たことになる。例えば、 $n=20$ に取ると、

${ \displaystyle 3.104\lt \pi \lt 3.181}$ を得る。あまり収束は早くない。