難問奇問数学自作問題37-三角形と区分求積-

大学入試 自作問題 奇問 難問 区分求積

「 3辺の長さが { \displaystyle a,b,c} の三角形ABCがある。辺BC、CA、ABをそれぞれ  { \displaystyle n} 等分する点を { \displaystyle P_k,Q_k,R_k \ (k=1,2,..,n-1)} とする。ここで、辺BC上に頂点Bに近い方から順に  { \displaystyle P_1,P_2,...}、辺CA上に頂点Cに近い方から順に  { \displaystyle Q_1,Q_2,...}、辺AB上に頂点Aに近い方から順に  { \displaystyle R_1,R_2,...}とする。また、 { \displaystyle BQ_k}と { \displaystyle CR_{n-k}} の交点を { \displaystyle D_k} とする。このとき、以下の値を求めよ。

(1) { \displaystyle lim_{n\to \infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1}AP_k} 

(2) { \displaystyle lim_{n\to \infty}\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1}(BD_k+CD_k})」

 

 

ポイントは、

① 区分求積に気がつくこと

② 相似比を使いこなすこと

である。

ちなみに(1)は東大の過去問である。

 

(1)、(2)とも、 { \displaystyle k,n} を用いて表してやろうという方針は変わらない。区分求積後の積分も、 { \displaystyle \int dx \sqrt{x^2+1}} の頻出積分が実行できれば可能である。(2)については、相似の関係を使うと良い。また、(1)の結果を使えば計算が少々楽になる。