難問奇問数学自作問題49-毒は毒を以て積分セヨ-

大学入試 自作問題 奇問 難問 微分

「 { \displaystyle \int_{1}^{a}sin(x+1/x)\pi dx=\int_{1/a}^{1}sin(x+1/x)\pi dx} が成立する1以上の  { \displaystyle a} を求めよ。」

 

ポイントは、変数変換につきる。右辺において、  { \displaystyle y=1/x } と変数変換してみる。すると、左辺と同じ積分区間になることが分かるが、被積分部分は変数変換により生じた  { \displaystyle 1/x^2} の違いが生じる。このままでは埒があかないので、左辺  { \displaystyle -} 右辺を計算してみよう。すると、こちらは奇跡的に積分できることが分かり...