「x,y軸上にそれぞれ点A、Bをとり、三角形OABが第一象限にあり(軸も含む)、周の長さが1の直角三角形となるようにA、Bを動かす。ただし角Oが直角であるとする。また、第一象限に四角形OACBが長方形となるような点Cをとる。四角形OACBは通過するが、三角形OAB…

「長方形を横に3つの長方形に等分割してできた小部屋を、左からA、B、Cとする。泥酔した宿泊客が、1分ごとに隣の小部屋に移動する、ないし現在の部屋にとどまる選択をするとする。Cの部屋ではお酒が自由に飲めるため、この客はなるべくCから出たくないという…

「4項間漸化式 の一般項を求めよ。ただし、 、 、 とする 」 考え方のポイントは、うまく3項間漸化式にすること。 特性方程式 の解は なので、特に に注目して についてまとめることができるはずである。すなわち についてはもはや3項間の漸化式になっている…

「正六角形を6つの正三角形に等分割してできた小部屋を、左周りにA、B、C、D、E、Fとする。泥酔した宿泊客が、1分ごとに隣り合う小部屋に移動する、ないし現在の部屋にとどまる選択をするとする。このとき、右隣に移動する確率、左隣に移動する確率、とどま…

「微分可能な について以下の問いに答えよ。 (1) とおく。このとき、 となることを示せ。 (2) を求めよ。」 考え方のポイントは、 ① 積分方程式はとりあえず微分する ② 以外の「都合の良い」関数を探す である。 解答の流れを説明する。 まずポイント①に従い…

「 を自然数とする。 は のみを用いた多項式として表すことが知られている。このとき、最高次と最低次の係数を求めよ。」 考え方のポイントは、 が の 次多項式で表せることを利用すること。 この方程式をチェビシェフの多項式と呼ぶ。 係数を予測して帰納法…

「 を自然数とする。 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 ① シグマをうまく消去すること ② の級数列で近いものはなかったか探す の2つ。 実はこの問題は、過去の2問の結果を組み合わせたものになっている。 まずポイント①。これは、前問の「平安…

「 を自然数とする。 が成り立つことを示せ。」 考え方のポイントは、 碁盤状迷路を用いて示すこと。 から予想される通り、 の正方形碁盤目経路において、第一走者はブロック、第二走者は ブロックだけ進む場合に相当する。 このヒントを利用すればすぐに証…