難問奇問数学自作問題21-平安京と円周率の関係-

大学入試 自作問題 難問 奇問 極限 組み合わせ

「 { \displaystyle n } を自然数とする。 { \displaystyle lim_{n\to \infty}\frac{\sqrt{n}}{4^n}\sum_{k=0}^n ({}_{n} C _k)^2=\frac{1}{\sqrt{\pi}}} が成り立つことを示せ。」 

 

考え方のポイントは、

① シグマをうまく消去すること

②  { \displaystyle \pi } の級数列で近いものはなかったか探す 

 の2つ。

 

実はこの問題は、過去の2問の結果を組み合わせたものになっている。

まずポイント①。これは、前問の「平安京リレー」の結果を使えば良い。
suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com

ポイント②は、前前問の円周率の級数列の結果を用いる。

suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com

 これらの結果を組み合わせれば証明できる。つまり、平安京の市内マラソンでは背後に円周率が隠されていたことになる。