「以下の問いに答えよ。 (1) 平面に半径1、中心を原点Oとする円がある。円周上の動点Pを中心にもつ1辺が1の正方形ABCDを、ABとCDが軸に平行、BCとDAが軸と平行になるように作る。動点Pを動かすとき、正方形ABCDの通過する領域の面積を求めよ。 (2) 空間に半…

「以下の問いに答えよ。 (1) を自然数とし、 として により数列を定義する。このとき、 が成り立つことを示せ。また、 が方程式 の解となるとき、 もその式の自然数解になることを示せ。 (2) を自然数とするとき、方程式の自然数解を2つ求めよ。」 ペル方程…

「 を自然数とし、 を満たす有理数 を考える。 となる解が無数に存在することを示せ。」 ヒントは、ピタゴラス数が無数にあることをまず示すこと。すなわち、 は常に を満足するので、 を好きな整数に取ればいくらでもピタゴラス数ができる。この事実を踏ま…

「３次元空間のベクトル がある。このとき、が一次独立であることの必要十分条件は、であることを示せ。ここで、外積は で定義する。」 前々問で述べたように、 をスカラー三重積と呼ぶ。 suugaku-daigakunyuushi-inshi.hatenablog.com の結果から、スカラー…

「一辺が1の正 多角形 が 平面上にある。に、正多角形の中心が原点に来るようにして、各頂点を左回りに取るとする。 このとき、 を定義する。、 を求めよ。」 まず、3倍角の公式を用いて式を整理しよう。 次に、オイラーの公式 を用いて指数表示にし、等比数…

「四面体O-ABCにおいて、 とする。このとき、四面体O-ABCの体積が、 となることを示せ。ここで、外積は で定義する。ただし、この外積の絶対値が三角形OBCの面積の2倍に等しくなることは自明ではないものとする。」 をスカラー三重積と呼び、3つのベクトルで…

「 を自然数として、 を定義する。 このとき、 は についての多項式になるが、最高次の次数とその係数を求めよ。」 解き方は色々ありそうだが、例えば二項定理＆帰納法による方法。まず、 において、 としてみよう。すると、 と表せる。 さらに、左辺は二項…

「 を自然数として、 が、ある自然数の4乗になっているという。 を求めよ。」 ポイントは、 が、 より大きく、 より小さくなることである。すると、強制的にある数の4乗になっていなければならず ・・・

「前問において、円錐Vの中身が詰まっていないとする。すなわち、厚みのない円錐Vを考え、それに対する回転体の体積を求めよ。」 ポイントは、前問では最大半径のみを考えたが、今回は最小半径も考える必要があること。つまり、最小半径を回してできる立体を…

「3次元 空間において、半径 の底円を 平面上に持ち、頂点を とする、中身の詰まった直円錐Vがある。Vを 軸に関して1周させてできる回転体の体積を求めよ。」 ポイントは、回転体の体積を求めるには回転軸からもっとも離れた点を考えれば良いことである。Vを…

「前問において、時刻 において 、 の障壁よりも右側に存在する粒子たちの重心の位置を とする。ここで は自然数とした。 を を用いて表し、 を求めよ。」 ポイントは、粒子がどこにどれだけいるか、しっかり抑えること。右側だけに限った場合、一番先行して…

「軸上の に厚みのない障壁がある。 の障壁に、大きさのない個の粒子が軸の負の方向から正の方向に向かって同時に入射する。粒子同士はぶつかり合ったりせず、入射する前の速さはで等しいとする。各粒子は障壁に対して の確率で反射し、 の確率で透過する()…

「以下の問いに答えよ。 (1) において、 のグラフの概形を書け。 (2) 個の正の実数 に対し、相加平均 、調和平均 、相乗平均 を定義する。 を証明せよ。」 意欲的な人は、いきなり(2)に取り組んでほしい。 (1)より、常に (等号成立は のとき)が成り立つこと…

「 個の正の実数 がある。これらの平均としては、相加平均 や、調和平均 、相乗平均 などがある。これらの平均を一般化したものとして、一般化平均 が知られている。確かに、 において とすれば相加平均及び調和平均に一致することがわかる。一方、 が相乗平…

「 平面において、1sごとに上下左右いずれかにそれぞれ等しい確率で1だけ移動する人間がいる。sでこの人は原点にいるとするとき、s後に原点にいる確率を求めよ。」 ポイントは、右に行く回数と上に行く回数を変数でおき、その拘束条件を考えること。定石とし…

「 関数 は正の整数 に対して定義され、正の整数値とる関数で以下の性質を満たす。このような を求めよ。 ① ② であれば、 ③ 」 ポイントは、帰納法を使うこと。まずは関数の予測だ。帰納法では偶奇による場合分けをすると見通しが良くなるかもしれない。

「自然数 は を満たす。このとき、実数の組み があって、以下の各量で定義する。 、、、、、 とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) を を用いて表せ。 (2) を を用いて表せ。 (3) を を用いて表せ。」 ポイントはとくになし。 をそれぞれ統計学で「平均、分…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) となることを示せ。 (2) を求めよ。」 ポイントはひたすら帰納法。かなり複雑だが、辛抱強く帰納法を使用すれば証明できる。 この多項式はルジャンドル多項式と呼ばれるもので、ク…

「幅1cmの、厚みのない長い紙がある。これを一重結びしたとき、結び目で正五角形ができることを示せ。また、その面積を求めよ。」 ポイントは特になし。是非他の結び方もできるように！

「正五角形をコンパスと定規で作図せよ」 ポイントは特徴的な長さを代数的に求め、それを作図すること。 かっこいい作図もできるが、ここでは泥臭いが実践的な方法で作図しよう。正五角形ABCDEとし、まず辺CDを適当な長さにとって引く。頂点Bの位置を特定す…

「自然数 に対し、 を求めよ。」 ポイントは如何にして漸化式を求めるか。 は、sinが無ければ「ガンマ関数」と呼ばれるものになり、積分すると になる。一方で今回の関数はややこしい。 とおいて、漸化式をたてて求めるのが良いだろう。その際、 として漸化…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) は 次の多項式であり、最高次の係数は であることを示せ。 (2) (1)の結果より、 と表せる。このとき、各項の係数は となることを示せ。 (3) を求めよ。」 ポイントは前問同様ひたす…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) は 次の多項式であり、最高次の係数は であることを示せ。また、 と異なる偶奇の次元の項が含まれないを示せ。 (2) (1)の結果より、 と表せる。このとき、各項の係数は となること…

「 とするとき、 を求めよ。ただし、 は既知として良い。」 ポイントは特になし。 統計数理では、を指数分布と呼ぶ。正規分布などと同じ確率分布関数の一種である。平均(=期待値)は であり、 その周りのベキ乗の積分である を、 次のモーメントと呼ぶ。特に…

「3次元のベクトル 、 に対し、以下の関数を定義する。 ここで、 、 とする。ただし、 の外積は で定義する。 このとき、 の最小値と、それを与える を求めよ。」 ポイントは、積和公式を使いまくること。それに気づけば難しくはない。 上記の関数は、カイラ…

「以下の問いに答えよ(意欲のある人は(1)を見ずに)。 (1) 0以上の1以下の実数 に対し、 が成立することを示せ。 (2) 自然数 に対し、関数 を定義する。このとき、 を求めよ。」 ポイントは、挟み撃ちの原理と区分求積法。 基本的には、(1)の結果を用いて挟み…

「 半径 の半円の重心について、以下の方針でそれぞれ求めよ。 (1) パップス・ギュルダンの定理を利用して、重心の位置を求めよ。 (2) 区分求積法を用いて、重心の位置を求めよ。」 ポイントは、 ① モーメントの計算 ② 長方形による分割 パップスギュルダン…

「 を自然数、素数とするとき、 を満たす自然数 を求めよ。」 ポイントは、 ① 因数分解 ② 素数をしぼりこむ こと。 因数分解して各項に素数のべき乗を割り振るまでは定石。まずは、 を で表してみよう。すると、 から、素数の絞り込みができるはずである。あ…

「以下の問いに答えよ。 (1) を実数とするとき、 が成り立つことを示せ。 (2) を示せ。」 ポイントは、 ① ひたすら微分と増減表を利用する ② 計算ミスをしない こと。 (1)では、 に対し、1階、2階、3階と微分していく。各導関数の最小値が0であることを示せ…

「 が成立する1以上の を求めよ。」 ポイントは、変数変換につきる。右辺において、 と変数変換してみる。すると、左辺と同じ積分区間になることが分かるが、被積分部分は変数変換により生じた の違いが生じる。このままでは埒があかないので、左辺 右辺を計…