「 平面において、1sごとに上下左右いずれかにそれぞれ等しい確率で1だけ移動する人間がいる。sでこの人は原点にいるとするとき、s後に原点にいる確率を求めよ。」 ポイントは、右に行く回数と上に行く回数を変数でおき、その拘束条件を考えること。定石とし…

「 関数 は正の整数 に対して定義され、正の整数値とる関数で以下の性質を満たす。このような を求めよ。 ① ② であれば、 ③ 」 ポイントは、帰納法を使うこと。まずは関数の予測だ。帰納法では偶奇による場合分けをすると見通しが良くなるかもしれない。

「自然数 は を満たす。このとき、実数の組み があって、以下の各量で定義する。 、、、、、 とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) を を用いて表せ。 (2) を を用いて表せ。 (3) を を用いて表せ。」 ポイントはとくになし。 をそれぞれ統計学で「平均、分…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) となることを示せ。 (2) を求めよ。」 ポイントはひたすら帰納法。かなり複雑だが、辛抱強く帰納法を使用すれば証明できる。 この多項式はルジャンドル多項式と呼ばれるもので、ク…

「幅1cmの、厚みのない長い紙がある。これを一重結びしたとき、結び目で正五角形ができることを示せ。また、その面積を求めよ。」 ポイントは特になし。是非他の結び方もできるように！

「正五角形をコンパスと定規で作図せよ」 ポイントは特徴的な長さを代数的に求め、それを作図すること。 かっこいい作図もできるが、ここでは泥臭いが実践的な方法で作図しよう。正五角形ABCDEとし、まず辺CDを適当な長さにとって引く。頂点Bの位置を特定す…

「自然数 に対し、 を求めよ。」 ポイントは如何にして漸化式を求めるか。 は、sinが無ければ「ガンマ関数」と呼ばれるものになり、積分すると になる。一方で今回の関数はややこしい。 とおいて、漸化式をたてて求めるのが良いだろう。その際、 として漸化…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) は 次の多項式であり、最高次の係数は であることを示せ。 (2) (1)の結果より、 と表せる。このとき、各項の係数は となることを示せ。 (3) を求めよ。」 ポイントは前問同様ひたす…

「 を満たす についての関数列 がある。 のとき、以下の問いに答えよ。 (1) は 次の多項式であり、最高次の係数は であることを示せ。また、 と異なる偶奇の次元の項が含まれないを示せ。 (2) (1)の結果より、 と表せる。このとき、各項の係数は となること…

「 なる鋭角 を弧度法で表したとき、小数第二位の数字を答えよ。」 ポイントは角の二等分線を利用すること。 を利用すると良いが、このままでは求めることができない。上記のポイントに気づけば、難しくはない。

「 とするとき、 を求めよ。ただし、 は既知として良い。」 ポイントは特になし。 統計数理では、を指数分布と呼ぶ。正規分布などと同じ確率分布関数の一種である。平均(=期待値)は であり、 その周りのベキ乗の積分である を、 次のモーメントと呼ぶ。特に…

「3次元のベクトル 、 に対し、以下の関数を定義する。 ここで、 、 とする。ただし、 の外積は で定義する。 このとき、 の最小値と、それを与える を求めよ。」 ポイントは、積和公式を使いまくること。それに気づけば難しくはない。 上記の関数は、カイラ…

「以下の問いに答えよ(意欲のある人は(1)を見ずに)。 (1) 0以上の1以下の実数 に対し、 が成立することを示せ。 (2) 自然数 に対し、関数 を定義する。このとき、 を求めよ。」 ポイントは、挟み撃ちの原理と区分求積法。 基本的には、(1)の結果を用いて挟み…

「以下の問いに答えよ。 (1) 0以上の整数 についての方程式 を考える。このとき以下の問いに答えよ。 (a) ある解 が存在したと仮定する。このとき、 も解となることを示せ。 (b) 全ての解を求めよ。 (2) を満たす実数 のいずれかは無理数であることを示せ。…

「 半径 の半円の重心について、以下の方針でそれぞれ求めよ。 (1) パップス・ギュルダンの定理を利用して、重心の位置を求めよ。 (2) 区分求積法を用いて、重心の位置を求めよ。」 ポイントは、 ① モーメントの計算 ② 長方形による分割 パップスギュルダン…

「 を自然数、素数とするとき、 を満たす自然数 を求めよ。」 ポイントは、 ① 因数分解 ② 素数をしぼりこむ こと。 因数分解して各項に素数のべき乗を割り振るまでは定石。まずは、 を で表してみよう。すると、 から、素数の絞り込みができるはずである。あ…

「以下の問いに答えよ。 (1) を実数とするとき、 が成り立つことを示せ。 (2) を示せ。」 ポイントは、 ① ひたすら微分と増減表を利用する ② 計算ミスをしない こと。 (1)では、 に対し、1階、2階、3階と微分していく。各導関数の最小値が0であることを示せ…

「 が成立する1以上の を求めよ。」 ポイントは、変数変換につきる。右辺において、 と変数変換してみる。すると、左辺と同じ積分区間になることが分かるが、被積分部分は変数変換により生じた の違いが生じる。このままでは埒があかないので、左辺 右辺を計…

「 を自然数とする。以下の問いに答えよ。 (1) に対し、 とする。このとき、 が成り立つことを示せ。 (2) を求めよ。」 (1)の級数は、いわゆるテイラー展開に関するものである。(1)は帰納法でやるのが普通か。(2)では挟み撃ちの原理を使う。

「 が自然数となる素数 を全て求めよ。 」 1964年の東京オリンピックは、ニッポンの戦後からの脱却を世に知らしめた。再びのオリンピック。日本は何を世界にアピールすることができるのだろうか。 ポイントは端的に二項定理の活用。あとは、 に対して、 が …

「以下の問いに答えよ。 (1) に対し、 となる解は2つのみ あることを示せ。 (2) となることを示せ。ここで、ネイピア数は で定義するとする。 」 ポイントは特になし。

「 は、および を満たすとする。このとき、以下の問いに答えよ。 (1) かつ をしめせ。 (2) の全ての解のうち、3番目に大きい解を求めよ。」 ポイントは、「三角関数を連想する」こと。具体的には、倍角の公式、3倍角の公式の形に式がなっていることが分かる…

「勝ち負けが必ず決まるあるゲームがあるとする。匿名希望のA君は、このゲームをすると、2連敗してしまった後には必ず勝ってしまうという超能力を持っている。一方、イカサマ師で有名なB君は、イカサマを使うことでゲームの勝率が と高くなっている。 すなわ…

「 平面上に放物線 と、円 がある。放物線上の動点Pを通り、円に接する2つの接線の接点をQ、Rとする。このとき、線分QRが通過する領域の面積を求めよ。 」 ポイントは、 ① 2つの円の交線は、2つの円の方程式の差で求まる ② の積分をしっかりと！ である。 か…

「 以下の問いに答えよ。 (1) のうち少なくとも2つは異なるとする。このとき、 であれば、 が成り立つことを示せ。 (2) を自然数とし、 を素数とする。 が成り立つような の組みを全て求めよ。」 ポイントは、 ① が使えるか ② 判別式を用いて整数の組みを制…

「 を自然数とし、正 多角形を考える。この多角形をすべての対角線によって領域分割し、多角形の中心を含む領域の面積を とおく。 (1) を で表せ。 (2) を求めよ。」 ポイントは、「どの対角線が領域の生成に寄与するか」つきとめることである。対角線のうち…

「 以下の問いに答えよ。ただし を自然数とする。 (1) を で表せ。 (2) を求めよ。ただし、 とする。」 ポイントは、「微分の定義(微分係数)を使えるか」に尽きる。 (1)では、 と変換した上で式を整理すると、ある関数の微分係数になることがわかる。この時…

「 平面上に半円S と半円T がある。半円S上の定点A(1,0)、B(-1,0)と半円T上に動点Pをとり、半円SとAP、BPは交点を持ち、それぞれR、Qとする。三角形PQRと四角形ARQBの面積比がとなるとき、三角形PBAの面積を求めよ。」 ポイントは、 ① 円の性質(直径の円周角…

「 関数 は を満たす。また、 の値は0より大きい有理数のみをとるとする。このような を求めよ。」 ポイントは、 ① を求めてみようと思うこと ② 因数定理 である。 問題文の式から、 について閉じた方程式を得ることができる。これは3次方程式であり、因数定…

「 3辺の長さが の三角形ABCがある。辺BC、CA、ABをそれぞれ 等分する点を とする。ここで、辺BC上に頂点Bに近い方から順に 、辺CA上に頂点Cに近い方から順に 、辺AB上に頂点Aに近い方から順に とする。また、 と の交点を とする。このとき、以下の値を求め…