難問奇問数学自作問題119-バイオハザードの最初らへんに出てくるカッターがトラウマ-

大学入試 自作問題 奇問 積分 空間図形

「 { \displaystyle xyz}空間に高さ1、半径1の円柱があり、下底円の中心を(0,0,0)、上底円の中心を(0,0,1)とする。今 { \displaystyle z=-y^2+1}の放物線の形をしたカッターが、 { \displaystyle x}軸に沿って { \displaystyle -\infty}から { \displaystyle \infty}に動く。このとき、カッターで切り取られる円柱の立体のうち原点を含む方の体積を求めよ。」

 

 

難しくないので解説は省略。

難問奇問数学自作問題118-碁盤上経路と漸化式-

大学入試 自作問題 難問 奇問 組み合わせ 漸化式

「下図のような、各区画の長さが等しい碁盤目状の道路がある。 { \displaystyle n}を自然数とするとき、地点Aからスタートして地点 { \displaystyle Z_n}でゴールするような最短経路は何通りあるか。 { \displaystyle n}を用いて表せ。

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」

 

 

碁盤目上の最短経路の問題と、漸化式を融合させた問題。 地点Aからスタートして地点 { \displaystyle Z_n}でゴールするような最短経路の数を { \displaystyle P_n}とおき、 { \displaystyle Z_n}の右斜め下の地点にゴールするような最短経路の数を { \displaystyle Q_n}とし、それぞれに漸化式を立てると良い。片方を消去して { \displaystyle Q_n}のみに関する漸化式を求めると、 { \displaystyle Q_{n+2}=16Q_{n+1}-28Q_n}を得る。この二項間漸化式を解いて { \displaystyle P_n}を求めれば、 { \displaystyle P_n=\frac{1}{12}(49\cdot 14^{n-1}-25\cdot 2^{n-1})}となる。

難問奇問数学自作問題117-解と係数の関係と面積-

大学入試 自作問題 難問 解と係数の関係 方程式

「 { \displaystyle y=x^3-x}と { \displaystyle y=k}が、異なる3点で交わっている。交点の { \displaystyle x}座標を小さい順に { \displaystyle \alpha,\ \beta,\ \gamma}とする。以下の問いに答えよ。

(1) { \displaystyle k}の範囲を求めよ。

(2)  { \displaystyle \alpha+\beta+\gamma,\ \alpha^2+\beta^2+\gamma^2,\ \alpha^4+\beta^4+\gamma^4}の値を { \displaystyle k}を用いずに求めよ。

(3)  { \displaystyle y=x^3-x}と { \displaystyle y=k}によって囲まれる面積を、 { \displaystyle \beta}を用いて表せ。」

 

意欲のある人はいきなり(3)に取り組んでほしい。(2)は(3)の大ヒントで、これがあると平凡な問題になる。答えだけ書いておくと、面積は { \displaystyle -\frac{9}{4}¥beta^4+\frac{3}{2}\beta^2+\frac{1}{2}}となる。

難問奇問数学自作問題116-放物線と通過領域-

大学入試 自作問題 方程式と図形 領域

「 { \displaystyle y=x^2-1}上に点A(-1,0)、B(1,0)をとる。動点P { \displaystyle (t,t^2-1)}が、この放物線上を点Aから点Bまで動く。このとき、点Pを頂点とする放物線 { \displaystyle y=(x-t)^2+t^2-1}が通過する領域を図示せよ。」

 

 

難問奇問数学自作問題115-面積最小と領域-

大学入試 自作問題 難問 奇問 方程式と図形 領域

「 { \displaystyle y=x^2}上に点A(-1,1)、B(1,1)をとる。線分AB上にある点Pを通る直線で、 { \displaystyle y=x^2}とその直線が囲む面積が最小になるようなものを直線 { \displaystyle l}とする。点Pが線分AB上を動くとき、直線 { \displaystyle l}の通過する領域を図示せよ。」

 

難問奇問数学自作問題114-初等幾何のれんしゅう2-

大学入試 自作問題 奇問 平面図形の性質 ベクトル

「半径の異なる3つの円 { \displaystyle C_1, C_2,C_3}が平面上にある。どの二つに関しても、一方が他方に内接しておらず、一方が他方の内部にあることもないとする。このとき、 { \displaystyle C_1, C_2}の共通外接線の交点Aと、 { \displaystyle C_1, C_3}の共通外接線の交点Bと、 { \displaystyle C_2, C_3}の共通外接線の交点Cは同一直線上にあることを示せ。」

 

  

一見ギョッとするが、メネラウスの定理の逆ないし、ベクトルによる評価で示すことができる。

難問奇問数学自作問題113-初等幾何のれんしゅう-

大学入試 自作問題 奇問 平面図形の性質

「平行四辺形ABCDがあり、頂点A、B、Cを通る円Pがある。線分BEがこの円の直径となるように、円周上に点Eをとる。このとき、 { \displaystyle AC\perp DE}となることを示せ。」

 

  

難しくないのでノーヒント。